負の二項分布について|Excel(エクセル)で学ぶデータ分析ブログ

負の二項分布とは?

負の二項分布(negative binomial distribution)とは、確率分布の一種で、二項分布の拡張です。
また、幾何分布は負の二項分布における特殊ケースとなります。

二項分布、幾何分布との違い

二項分布

N回の試行を行ったときの成功数分布 \[
p(X=x) = {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x}
\]

幾何分布

試行を繰り返して初めて成功させるまでの試行回数の分布 \[
成功がx回目: p(X=x) = p (1-p)^{x-1} ,x = 1,2,3,4 \cdots \\
失敗がx回続く: p(X=x) = p (1-p)^x ,x = 0,1,2,3 \cdots
\]

幾何分布では、ようやく『1回』成功するまでに何回失敗するか、という予想をする際に用いられますが
では『10回』成功するためには何回失敗を繰り返せばいいのか、という問題に応えることは難しそうです。

10回成功するまでの乱数からの負の二項分布シュミレーション
失敗数 失敗数/試行回数 確率分布
1回 8 0.001 0.001
2回 58 0.006 0.005
3回 128 0.013 0.013
4回 264 0.026 0.027
5回 430 0.043 0.044
6回 608 0.061 0.061
7回 794 0.079 0.076
8回 812 0.081 0.087
9回 925 0.092 0.093
10回 924 0.092 0.093
11回 865 0.086 0.088
12回 824 0.082 0.08
13回 716 0.072 0.07
14回 581 0.058 0.059
15回 495 0.05 0.049
16回 434 0.043 0.039
17回 321 0.032 0.03
18回 203 0.02 0.023
19回 193 0.019 0.017
20回 123 0.012 0.013
21回 82 0.008 0.009
22回 62 0.006 0.007
23回 51 0.005 0.005
24回 31 0.003 0.003
25回 26 0.003 0.002
26回 8 0.001 0.002
27回 16 0.002 0.001
28回 5 0 0.001
29回 7 0.001 0
30回 2 0 0
31回 1 0 0
32回 1 0 0
33回 1 0 0
34回 0 0 0
35回 1 0 0

コインを例にして、表が出たら成功と定義づけ、10回表が出るまで投げ続けます。
確率は1/2なので2回に1回は失敗をすることが想像できますので
10回成功させるためには20回くらい投げればいいと考えられます。
したがって分布が10回あたりでピークになっていることと感覚的に合致しています。

負の二項分布

試行を行ったとき、r 回の「成功」を得るのに必要な試行回数の分布。
または 試行を行ったときに、r 回の「成功」をする前に失敗した試行回数の分布。 \[
成功がx回目: P(X=x) = {x-1 \choose r-1} p^{r} (1-p)^{x-r} ,x = 1,2,3,4 \cdots \\
失敗がx回続く: P(X=x) = {x+r-1 \choose x} p^{r} (1-p)^{x} ,x = 0,1,2,3 \cdots
\]

また、幾何分布は負の二項分布でr=1としたときの式を用います。

エクセルでは下記のようにあらわします。
試行回数:10回の場合

=COMBIN($l2+$M$1-1,$L2)*((B$1)^$M$1)*(1-B$1)^($L2)
=NEGBINOMDIST($l2,$M$1,B$1)

負の二項分布のエクセル関数1

サイコロの場合

10回成功するまでの乱数からの負の二項分布シュミレーション
失敗数 失敗数/試行回数 確率分布
1回 0 0 0
2回 0 0 0
3回 0 0 0
4回 0 0 0
5回 0 0 0
6回 0 0 0
7回 1 0 0
8回 0 0 0
9回 0 0 0
10回 2 0 0
11回 1 0 0
12回 2 0 0
13回 4 0 0.001
14回 5 0 0.001
15回 9 0.001 0.001
16回 13 0.001 0.001
17回 20 0.002 0.002
18回 14 0.001 0.002
19回 23 0.002 0.003
20回 34 0.003 0.004
21回 43 0.004 0.004
22回 66 0.007 0.005
23回 53 0.005 0.006
24回 65 0.006 0.007
25回 84 0.008 0.008
26回 85 0.008 0.009
27回 111 0.011 0.01
28回 107 0.011 0.011
29回 117 0.012 0.012
30回 133 0.013 0.014
31回 149 0.015 0.015
32回 145 0.014 0.016
33回 167 0.017 0.017
34回 168 0.017 0.018
35回 187 0.019 0.019
36回 203 0.02 0.02
37回 214 0.021 0.021
38回 201 0.02 0.021
39回 232 0.023 0.022
40回 225 0.022 0.023
41回 239 0.024 0.023
42回 246 0.025 0.023
43回 229 0.023 0.024
44回 259 0.026 0.024
45回 236 0.024 0.024
46回 277 0.028 0.024
47回 245 0.024 0.024
48回 246 0.025 0.024
49回 207 0.021 0.024
50回 239 0.024 0.023