負の二項分布について｜Excel（エクセル）で学ぶデータ分析ブログ

負の二項分布とは？

負の二項分布（negative binomial distribution）とは、確率分布の一種で、二項分布の拡張です。
また、幾何分布は負の二項分布における特殊ケースとなります。

二項分布、幾何分布との違い

二項分布

N回の試行を行ったときの成功数分布 \[
p(X=x) = {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x}
\]

幾何分布

試行を繰り返して初めて成功させるまでの試行回数の分布 \[
成功がx回目： p(X=x) = p (1-p)^{x-1} ,x = 1,2,3,4 \cdots \\
失敗がx回続く： p(X=x) = p (1-p)^x ,x = 0,1,2,3 \cdots
\]

幾何分布では、ようやく『1回』成功するまでに何回失敗するか、という予想をする際に用いられますが
では『10回』成功するためには何回失敗を繰り返せばいいのか、という問題に応えることは難しそうです。

10回成功するまでの乱数からの負の二項分布シュミレーション

	失敗数	失敗数／試行回数	確率分布
1回	8	0.001	0.001
2回	58	0.006	0.005
3回	128	0.013	0.013
4回	264	0.026	0.027
5回	430	0.043	0.044
6回	608	0.061	0.061
7回	794	0.079	0.076
8回	812	0.081	0.087
9回	925	0.092	0.093
10回	924	0.092	0.093
11回	865	0.086	0.088
12回	824	0.082	0.08
13回	716	0.072	0.07
14回	581	0.058	0.059
15回	495	0.05	0.049
16回	434	0.043	0.039
17回	321	0.032	0.03
18回	203	0.02	0.023
19回	193	0.019	0.017
20回	123	0.012	0.013
21回	82	0.008	0.009
22回	62	0.006	0.007
23回	51	0.005	0.005
24回	31	0.003	0.003
25回	26	0.003	0.002
26回	8	0.001	0.002
27回	16	0.002	0.001
28回	5	0	0.001
29回	7	0.001	0
30回	2	0	0
31回	1	0	0
32回	1	0	0
33回	1	0	0
34回	0	0	0
35回	1	0	0

コインを例にして、表が出たら成功と定義づけ、10回表が出るまで投げ続けます。
確率は1/2なので2回に1回は失敗をすることが想像できますので
10回成功させるためには20回くらい投げればいいと考えられます。
したがって分布が10回あたりでピークになっていることと感覚的に合致しています。

負の二項分布

試行を行ったとき、r 回の「成功」を得るのに必要な試行回数の分布。
または 試行を行ったときに、r 回の「成功」をする前に失敗した試行回数の分布。 \[
成功がx回目： P(X=x) = {x-1 \choose r-1} p^{r} (1-p)^{x-r} ,x = 1,2,3,4 \cdots \\
失敗がx回続く： P(X=x) = {x+r-1 \choose x} p^{r} (1-p)^{x} ,x = 0,1,2,3 \cdots
\]

また、幾何分布は負の二項分布でr=1としたときの式を用います。

エクセルでは下記のようにあらわします。
試行回数：10回の場合

=COMBIN($l2+$M$1-1,$L2)*((B$1)^$M$1)*(1-B$1)^($L2)

=NEGBINOMDIST($l2,$M$1,B$1)

サイコロの場合

10回成功するまでの乱数からの負の二項分布シュミレーション

	失敗数	失敗数／試行回数	確率分布
1回	0	0	0
2回	0	0	0
3回	0	0	0
4回	0	0	0
5回	0	0	0
6回	0	0	0
7回	1	0	0
8回	0	0	0
9回	0	0	0
10回	2	0	0
11回	1	0	0
12回	2	0	0
13回	4	0	0.001
14回	5	0	0.001
15回	9	0.001	0.001
16回	13	0.001	0.001
17回	20	0.002	0.002
18回	14	0.001	0.002
19回	23	0.002	0.003
20回	34	0.003	0.004
21回	43	0.004	0.004
22回	66	0.007	0.005
23回	53	0.005	0.006
24回	65	0.006	0.007
25回	84	0.008	0.008
26回	85	0.008	0.009
27回	111	0.011	0.01
28回	107	0.011	0.011
29回	117	0.012	0.012
30回	133	0.013	0.014
31回	149	0.015	0.015
32回	145	0.014	0.016
33回	167	0.017	0.017
34回	168	0.017	0.018
35回	187	0.019	0.019
36回	203	0.02	0.02
37回	214	0.021	0.021
38回	201	0.02	0.021
39回	232	0.023	0.022
40回	225	0.022	0.023
41回	239	0.024	0.023
42回	246	0.025	0.023
43回	229	0.023	0.024
44回	259	0.026	0.024
45回	236	0.024	0.024
46回	277	0.028	0.024
47回	245	0.024	0.024
48回	246	0.025	0.024
49回	207	0.021	0.024
50回	239	0.024	0.023