幾何分布について｜Excel（エクセル）で学ぶデータ分析ブログ
幾何分布とは？
幾何分布（geometric distribution）は、字面だけ読むととっつきにくい感じですが
二項分布とベルヌーイ分布を理解していればさほど難しい内容ではありません。
二項分布
\[
p(X=x) = {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x}
\]
二項分布の考え方では
「1/2の確率のもの(例えばコイン)を10回投げたときにはだいたい5回(5/10)程度の確率で表(または裏)が出る」
と予想を立てることができました。
では、「何回目に表が出るか」という予想を立てる場合、二項分布で予測することが可能でしょうか。
結論からいうとちょっと難しそうです。
なので、確率分布のことは忘れて、単純な確率の計算をしてみましょう。
例として５回目に表が出た場合を考えてみます。
| 成功回＼試行回数 | 1回目 | 2回目 | 3回目 | 4回目 | 5回目 | 6回目 | 7回目 | 8回目 | 9回目 | 10回目 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0回 | 1 | |||||||||
| 1回 | 0 | 1 | ||||||||
| 2回 | 0 | 0 | 1 | |||||||
| 3回 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||||
| 4回 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |||||
| 5回 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||
| 6回 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |||
| 7回 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||
| 8回 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 9回 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 10回 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
上記の表は「何回目で成功をするか」という表です。
コインの場合、2通りの事象しかありえないため、成功も失敗も1/2です。
これを「成功確率：p=1/2」とし、「失敗確率：1-p=1/2」と考えます。
※サイコロで1を成功と定義した場合は「成功確率：p=1/6」とし、「失敗確率：1-p=5/6」と考えます。
5回目で成功する確率（4回連続で失敗する確率）
\[
成功確率*(失敗確率)^{失敗回数} = (1/2)*(1/2)^4 = (1/2)^5=0.03125 \fallingdotseq 3.1\%
\] だということがわかります。
幾何分布
\[
成功がx回目： p(X=x) = p (1-p)^{x-1} ,x = 1,2,3,4 \cdots \\
失敗がx回続く： p(X=x) = p (1-p)^x ,x = 0,1,2,3 \cdots
\]
幾何分布では
「10回中5回目で成功する確率は3.1％の確率だ」というようなことや
「10回中4回『連続して』失敗する確率は3.1％の確率だ(5回目は成功する)」というようなことが予想できます。
幾何分布を応用すれば過去記事でも紹介した「マーチンゲール理論」でも予算の準備に応用が利きそうです。
| 1回 | 2回 | 3回 | 4回 | 5回 | 6回 | 7回 | 8回 | 9回 | 10回 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 成功数 | 50232 | 24588 | 12574 | 6339 | 3095 | 1573 | 790 | 425 | 195 | 88 |
| 成功数／試行回数 | 0.502 | 0.246 | 0.126 | 0.063 | 0.031 | 0.016 | 0.008 | 0.004 | 0.002 | 0.001 |
| 確率分布 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.063 | 0.031 | 0.016 | 0.008 | 0.004 | 0.002 | 0.001 |
エクセルでは下記のようにあらわします。
=B$1*(1-B$1)^($a2)
サイコロの場合
| 1回 | 2回 | 3回 | 4回 | 5回 | 6回 | 7回 | 8回 | 9回 | 10回 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 成功数 | 16705 | 13842 | 11619 | 9603 | 8023 | 6659 | 5482 | 4616 | 3874 | 3181 |
| 成功数／試行回数 | 0.167 | 0.138 | 0.116 | 0.096 | 0.08 | 0.067 | 0.055 | 0.046 | 0.039 | 0.032 |
| 確率分布 | 0.167 | 0.139 | 0.116 | 0.096 | 0.08 | 0.067 | 0.056 | 0.047 | 0.039 | 0.032 |
無記憶性
幾何分布の解説では無記憶性に関する解説も一緒されることが多いです。 \[
P(X \geq x_1 + x_2 | X \geq x_1) = P( X \geq x_2) (x_1,x_2 \geq 0)
\]
これは、\(x_1\)回失敗が続いたという情報が\(x_2\)回目の成功や失敗になんら影響を与えることがない、という考え方です。
「負けがこんどるから次は勝てるんや！」といった感じでアツくなっている身内の方がいたら
ぜひ無記憶性について論じてみてください。
